Что такое определённый интеграл?

Определённый интеграл - это число, которое показывает площадь под графиком функции \( y = f(x) \) между двумя вертикальными прямыми \( x = a \) и \( x = b \), если функция неотрицательна на этом отрезке.

Формально он записывается так:

\[ \int_a^b f(x)\,dx \]

где:

• \( a \) - нижний предел интегрирования,
• \( b \) - верхний предел интегрирования,
• \( f(x) \) - подынтегральная функция.

Геометрический смысл

Если \( f(x) \geq 0 \) на \( [a, b] \), то значение интеграла \( \int_a^b f(x)\,dx \) равно площади фигуры, ограниченной:

• графиком функции \( y = f(x) \),
• осью \( Ox \),
• прямыми \( x = a \) и \( x = b \).

Эта фигура называется криволинейной трапецией.

Формула Ньютона–Лейбница

Чтобы вычислить определённый интеграл, нужно:

1. Найти первообразную \( F(x) \) функции \( f(x) \) (то есть такую функцию, что \( F'(x) = f(x) \)).
2. Подставить в неё верхний и нижний пределы: \[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

Важно! При вычислении определённого интеграла константу \( C \) писать не нужно - она всё равно сократится.

Пример:

\[ \int_1^3 2x\,dx = \left[x^2\right]_1^3 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8 \]

Основные свойства определённого интеграла

• \( \int_a^a f(x)\,dx = 0 \) - площадь «нулевой» ширины равна нулю.
• \( \int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx \) - при перестановке пределов знак меняется.
• Линейность: \[ \int_a^b \big(k f(x) + g(x)\big)\,dx = k \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx \]
• Аддитивность: \[ \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx,\quad \text{для любого } c \in [a,b] \]

Когда интеграл нельзя взять точно?

Некоторые функции (например, \( e^{-x^2} \), \( \frac{\sin x}{x} \)) не имеют элементарных первообразных. В таких случаях используют приближённые методы:

Метод трапеций

Отрезок \( [a,b] \) делят на \( n \) равных частей, строят трапеции и суммируют их площади:

\[ \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\Big(f(x_0) + 2f(x_1) + \dots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)\Big), \]

где \( h = \frac{b-a}{n} \), а \( x_k = a + kh \).

Метод Симпсона (парабол)

Более точный метод. Требует чётного числа отрезков (\( n = 2m \)):

\[ \int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big(f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \dots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)\Big) \]

Чем больше \( n \), тем точнее результат.

Полезные советы

• Перед вычислением проверь, знакопостоянна ли функция на \( [a,b] \). Если \( f(x) < 0 \), то интеграл будет отрицательным - это нормально, но геометрически площадь всегда положительна.
• Всегда можно проверить найденную первообразную: продифференцируй её - должно получиться исходное подынтегральное выражение.
• Если функция непрерывна на \( [a,b] \), то определённый интеграл всегда существует.