Что такое неопределённый интеграл?

Представь, что у тебя есть функция \( f(x) \), и ты хочешь найти такую функцию \( F(x) \), производная которой равна \( f(x) \). То есть:

\[ F'(x) = f(x). \]

Такая функция \( F(x) \) называется первообразной для \( f(x) \).

Но важно: если \( F(x) \) - первообразная, то и \( F(x) + C \) тоже будет первообразной, где \( C \) - любая константа (потому что производная константы равна нулю). Поэтому множество всех первообразных записывают как:

\[ \int f(x)\,dx = F(x) + C, \]

где символ \( \int \) - это знак интеграла, \( f(x) \) - подынтегральная функция, а \( dx \) показывает, по какой переменной мы интегрируем.

Основные свойства неопределённого интеграла

Для любых функций \( f(x), g(x) \) и константы \( k \) справедливы следующие правила:

1. \( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\int f(x)\,dx\right) = f(x) \) - дифференцирование «отменяет» интегрирование.
2. \( \displaystyle \int dF(x) = F(x) + C \) - интегрирование «отменяет» дифференцирование.
3. \( \displaystyle \int k \cdot f(x)\,dx = k \cdot \int f(x)\,dx \) - константу можно выносить за знак интеграла.
4. \( \displaystyle \int \big(f(x) \pm g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx \) - интеграл от суммы равен сумме интегралов.

Эти свойства позволяют разбивать сложные интегралы на простые части.

Как решать неопределённые интегралы?

Интегрирование - это обратная операция к дифференцированию. Чтобы научиться брать интегралы, нужно хорошо знать таблицу производных и соответствующую таблицу интегралов. Вот самые частые примеры:

\[ \begin{aligned} \int x^n\,dx &= \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1, \\ \int \frac{1}{x}\,dx &= \ln|x| + C, \\ \int e^x\,dx &= e^x + C, \\ \int \sin x\,dx &= -\cos x + C, \\ \int \cos x\,dx &= \sin x + C. \end{aligned} \]

Совет: перед тем как интегрировать, упрости выражение! Например:

• Замени корни на степени: \( \sqrt{x} = x^{1/2} \);
• Перенеси знаменатель в числитель с отрицательной степенью: \( \frac{1}{x^3} = x^{-3} \);
• Раскрой скобки, если там есть квадрат суммы или другие формулы сокращённого умножения.

Проверка результата

После того как ты нашёл интеграл, всегда проверяй ответ! Просто возьми производную от полученного результата:

\[ \text{Если } \int f(x)\,dx = F(x) + C, \text{ то } (F(x) + C)' = f(x). \]

Если получилось - всё верно!

Пример

Вычислим:

\[ \int (3x^2 + 2\sqrt{x})\,dx. \]

Решение:

\[ \begin{aligned} \int (3x^2 + 2\sqrt{x})\,dx &= 3\int x^2\,dx + 2\int x^{1/2}\,dx \\ &= 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C \\ &= x^3 + \frac{4}{3}x^{3/2} + C. \end{aligned} \]

Проверка:

\[ \left(x^3 + \frac{4}{3}x^{3/2} + C\right)' = 3x^2 + \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = 3x^2 + 2\sqrt{x}. \]

Всё сходится!

Важно помнить

• Неопределённый интеграл - это множество всех первообразных, поэтому всегда пиши «+ C».
• Интегрирование требует практики. Чем больше задач решишь - тем легче будет замечать, как применять свойства и формулы.
• Начинай с простых интегралов, потом переходи к методам замены переменной и интегрирования по частям (это уже на следующем уровне).