Что такое предел?

Предел функции \( f(x) \) при \( x \to a \) - это число \( L \), к которому значения \( f(x) \) приближаются всё ближе и ближе, когда \( x \) приближается к \( a \) (но не обязательно достигает его).

Важно! Предел существует независимо от того, определена ли функция в точке \( a \).

Аналогично, предел последовательности \( \{x_n\} \) - это число \( L \), к которому члены \( x_n \) приближаются при \( n \to \infty \).

Строгое определение (по Коши)

• Для функции: \( \lim_{x \to a} f(x) = L \), если для любого \( \varepsilon > 0 \) найдётся \( \delta > 0 \), такое что из \( 0 < |x - a| < \delta \) следует \( |f(x) - L| < \varepsilon \).
• Для последовательности: \( \lim_{n \to \infty} x_n = L \), если для любого \( \varepsilon > 0 \) найдётся номер \( N \), такой что при всех \( n > N \) выполнено \( |x_n - L| < \varepsilon \).

Эти определения лежат в основе всей теории пределов, но на практике чаще используются правила и приёмы их вычисления.

Типы неопределённостей

При подстановке предельного значения может возникнуть одна из следующих неопределённостей:

• \( \dfrac{0}{0} \) - самая частая;
• \( \dfrac{\infty}{\infty} \);
• \( \infty - \infty \);
• \( 0 \cdot \infty \);
• \( 1^\infty \);
• \( 0^0 \), \( \infty^0 \) - редкие.

Не являются неопределённостями:

\[ \frac{0}{c} = 0 \ (c \ne 0), \quad \frac{c}{0} = \infty, \quad \frac{\infty}{c} = \infty, \quad c^\infty = \begin{cases} 0, & |c| < 1 \\ \infty, & |c| > 1 \end{cases} \]

Основные методы вычисления пределов

Разложение на множители (для \( \frac{0}{0} \))

Если \( x \to a \) и числитель/знаменатель обращаются в 0, пробуем разложить их на множители и сократить общий множитель \( (x - a) \).

Пример:

\[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 \]

Деление на старшую степень (для \( \frac{\infty}{\infty} \))

Если \( x \to \infty \), делим числитель и знаменатель на \( x^k \), где \( k \) - наибольшая степень среди них.

Пример:

\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5}{2x^2 - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{5}{x^2}}{2 - \frac{1}{x}} = \frac{3}{2} \]

Умножение на сопряжённое (для \( \infty - \infty \) или корней)

Используется формула \( a - b = \dfrac{a^2 - b^2}{a + b} \).

Пример:

\[ \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 1} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x} = 0 \]

Приведение к общему знаменателю

Если выражение содержит разность дробей, приводим к общему знаменателю, чтобы получить \( \frac{0}{0} \) или \( \frac{\infty}{\infty} \).

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

\[ \boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1} \]

Следствия:

\[ \sin x \sim x,\quad \tan x \sim x,\quad \arcsin x \sim x,\quad \arctan x \sim x \quad (x \to 0) \]

Второй замечательный предел

\[ \boxed{\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e}, \quad \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e \]

Полезная форма:

\[ \lim_{x \to a} (1 + f(x))^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} f(x) g(x)}, \quad \text{если } f(x) \to 0,\ g(x) \to \infty \]

Бесконечно малые и эквивалентности

Функция \( \alpha(x) \) называется бесконечно малой при \( x \to a \), если \( \lim_{x \to a} \alpha(x) = 0 \).

Если \( \lim_{x \to a} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1 \), то \( \alpha(x) \sim \beta(x) \) - они эквивалентны.

Таблица основных эквивалентностей при \( x \to 0 \):

\[ \begin{aligned} \sin x &\sim x, & \tan x &\sim x, & \arcsin x &\sim x, & \arctan x &\sim x,\\ 1 - \cos x &\sim \frac{x^2}{2}, & \ln(1 + x) &\sim x, & e^x - 1 &\sim x,\\ (1 + x)^\alpha - 1 &\sim \alpha x, & a^x - 1 &\sim x \ln a \end{aligned} \]

Правило замены: в пределе можно заменить бесконечно малую на эквивалентную, если она находится в произведении или делении (но не в сумме!).

Правило Лопиталя

Если \( \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0 \) или \( \pm\infty \), и производные существуют, то:

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}, \]

если последний предел существует.

Важно! Правило применяется только к \( \frac{0}{0} \) и \( \frac{\infty}{\infty} \). Часто его нужно применять несколько раз.

Пример:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \overset{\text{Л}}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} \overset{\text{Л}}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2} \]

Пределы последовательностей

Особенности:

• Переменная \( n \in \mathbb{N} \), \( n \to \infty \).
• Часто встречаются факториалы, степени, прогрессии.

Полезные факты:

• Геометрическая прогрессия: если \( |q| < 1 \), то \( \lim_{n \to \infty} q^n = 0 \).
• Факториал растёт быстрее любой экспоненты: \( \lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0 \).
• Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую - бесконечно мало.

Пример:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{2^n} = 0 \quad \text{(экспонента «сильнее» многочлена)} \]

Сложные случаи и советы

• При наличии тригонометрических функций - думайте о первом замечательном пределе.
• При степенях вида \( (1 + \text{малое})^{\text{большое}} \) - второй замечательный предел.
• Если есть логарифмы или экспоненты - используйте эквивалентности или правило Лопиталя.
• Всегда сначала подставляйте предельное значение - возможно, неопределённости нет!
• Не забывайте про порядок роста: \( \ln n \ll n^\alpha \ll a^n \ll n! \ll n^n \).

Заключение

Пределы - фундамент математического анализа. Освоив базовые методы (разложение, замечательные пределы, эквивалентности, правило Лопиталя), вы сможете решать большинство задач первого семестра. Главное - практика!