Что такое дробно-рациональное выражение?

Дробно-рациональное выражение - это дробь, в которой и числитель, и знаменатель являются многочленами (то есть выражениями с переменными и числами, например: \( x+2 \), \( x^2 - 5x + 6 \) и т.\,д.).

Примеры:

\[ \frac{x+1}{x-3}, \quad \frac{2x^2 - 4}{x+5}, \quad \frac{7}{x}. \]

Важно помнить: знаменатель не может быть равен нулю, потому что делить на ноль нельзя!

Область допустимых значений (ОДЗ)

ОДЗ - это все значения переменной \( x \), при которых выражение имеет смысл.
Для дробно-рациональных выражений ОДЗ определяется так:

Например, для выражения \( \displaystyle \frac{x+2}{x-5} \) ОДЗ: \( x \ne 5 \).

Если в выражении несколько дробей, нужно исключить все значения, обращающие любой знаменатель в ноль.

Дробно-рациональные уравнения

Это уравнения, в которых хотя бы одна часть содержит дробь с переменной в знаменателе.

Пример:

\[ \frac{3}{x-2} + 1 = \frac{5}{x}. \]

Как решать такие уравнения?

Следуй простому алгоритму:

1. Найди ОДЗ (запиши, какие значения \( x \) запрещены).
2. Приведи всё уравнение к виду: одна дробь = другая дробь или избавься от дробей.
3. Умножь обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей. Это уберёт знаменатели.
4. Реши получившееся обычное уравнение (линейное или квадратное).
5. Проверь корни: подходят ли они под ОДЗ? Если какой-то корень делает знаменатель нулём - его выбрасываем.
6. Запиши ответ.

Пример

Реши уравнение:

\[ \frac{1}{x} + 2 = 5. \]

Шаг 1. ОДЗ: \( x \ne 0 \).
Шаг 2. Перенесём 2: \( \displaystyle \frac{1}{x} = 3 \).
Шаг 3. Умножим обе части на \( x \): \( 1 = 3x \).
Шаг 4. Решаем: \( x = \frac{1}{3} \).
Шаг 5. Проверяем ОДЗ: \( \frac{1}{3} \ne 0 \) - подходит.
Ответ: \( x = \dfrac{1}{3} \).

Дробно-рациональные функции

Функция вида

\[ y = \frac{P(x)}{Q(x)}, \]

где \( P(x) \) и \( Q(x) \) - многочлены, называется дробно-рациональной.

Пример: \( y = \dfrac{x^2 + 6x + 8}{x + 2} \).

Как упрощать такие функции?

Если в числителе и знаменателе есть общий множитель, его можно сократить - но только после того, как найдена ОДЗ!

Пример:

\[ y = \frac{x^2 + 6x + 8}{x + 2}. \]

1. Находим ОДЗ: \( x + 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne -2 \).
2. Раскладываем числитель: \( x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4) \).
3. Сокращаем: \( \displaystyle y = \frac{(x+2)(x+4)}{x+2} = x + 4 \), но при этом \( x \ne -2 \)!
4. График - это прямая \( y = x + 4 \), но с «дыркой» (выколотой точкой) в \( x = -2 \).

Если общего множителя нет

Тогда нужно выделить целую часть. Это как деление с остатком:

\[ \frac{2x - 6}{x - 1} = 2 - \frac{4}{x - 1}. \]

Теперь график строится как гипербола, сдвинутая на 1 вправо и на 2 вверх.

Можно делать это двумя способами:

• Преобразовать числитель, чтобы выделить знаменатель (как выше).
• Разделить многочлен на многочлен «в столбик».

Важные правила и ловушки

• Никогда не сокращай до нахождения ОДЗ! Иначе можешь потерять ограничения.
• В неравенствах сокращать одинаковые скобки нельзя - можно потерять решения!
• После решения уравнения всегда проверяй корни на принадлежность ОДЗ.
• Если после упрощения получилось, что знаменатель обращается в ноль при любом корне - уравнение не имеет решений.

Где это пригодится?

• В ОГЭ (задание №22): построение графиков и анализ пересечений с прямыми \( y = m \).
• В физике, экономике, биологии - дробно-рациональные зависимости часто описывают реальные процессы (например, скорость реакции, рост населения и т.\,д.).