Что такое модуль?

Модуль числа - это его расстояние до нуля на числовой прямой.
Поскольку расстояние не может быть отрицательным, модуль всегда неотрицателен.

Примеры:

\[ |5| = 5,\quad |-3| = 3,\quad |0| = 0. \]

Формально:

\[ |a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \geq 0,\\ -a, & \text{если } a < 0. \end{cases} \]

Главные свойства модуля

1. \( |a| \geq 0 \) - модуль никогда не бывает отрицательным.
2. \( |a| = |-a| \) - модули противоположных чисел равны.
3. \( |a| \geq a \) - модуль всегда не меньше самого числа.
4. \( |a \cdot b| = |a| \cdot |b| \) - модуль произведения.
5. \( \left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|} \) (при \( b \ne 0 \)).
6. \( |a + b| \leq |a| + |b| \) - неравенство треугольника.
7. \( \sqrt{a^2} = |a| \) - корень из квадрата даёт модуль.
8. \( |a|^2 = a^2 \) - квадрат модуля равен квадрату числа.

Правила преобразования графиков:

• \( y = |x - a| \) - сдвигает «галочку» вправо на \( a \) (если \( a > 0 \)).
• \( y = |x + a| \) - сдвигает влево на \( a \).
• \( y = |x| + b \) - поднимает график вверх на \( b \).
• \( y = -|x| \) - переворачивает «галочку» вниз (отражение относительно оси \( x \)).
• \( y = |kx| \) - делает «галочку» уже (\( |k| > 1 \)) или шире (\( |k| < 1 \)).

Неравенства с модулем

1. \( |f(x)| < a \) (или \( \leq a \)), где \( a > 0 \)

Это система:

\[ -a < f(x) < a. \]

2. \( |f(x)| > a \) (или \( \geq a \)), где \( a > 0 \)

Это совокупность:

\[ f(x) > a \quad \text{или} \quad f(x) < -a. \]

3. Общий метод: возведение в квадрат

Если обе части неравенства неотрицательны, можно возвести в квадрат:

\[ |f(x)| \leq g(x) \quad \Longleftrightarrow \quad f(x)^2 \leq g(x)^2, \]

но только если \( g(x) \geq 0 \)!

Особый случай: если в неравенстве типа \( x^2 - 3x + 14 \geq 0 \) дискриминант отрицательный и коэффициент при \( x^2 \) положительный, то неравенство верно при всех \( x \).

Вывод

Модуль - это удобный инструмент, чтобы «забыть про минус». Он помогает работать с расстояниями, строить симметричные графики и решать уравнения, где важна только величина, а не знак. Главное - помнить определение и аккуратно раскрывать модули, особенно в уравнениях с несколькими «палочками»!