Что такое показательная функция?

Показательная функция - это функция вида

\[ y = a^x, \]

где:

• \( a > 0 \), \( a \ne 1 \) - основание степени;
• \( x \) - переменная, находящаяся в показателе степени.

Свойства:

• Область определения: \( x \in \mathbb{R} \) (любое действительное число).
• Область значений: \( y > 0 \) (всегда положительна).
• График всегда проходит через точку \( (0; 1) \), потому что \( a^0 = 1 \).
• Если \( a > 1 \), функция возрастает.
• Если \( 0 < a < 1 \), функция убывает.

Показательные неравенства

Определение: Неравенство, где переменная стоит в показателе степени. Пример: \( 3^x > 9 \).

Главное правило - монотонность функции

• Если \( a > 1 \): \[ a^{f(x)} > a^{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad f(x) > g(x). \]
• Если \( 0 < a < 1 \): \[ a^{f(x)} > a^{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad f(x) < g(x). \] То есть знак неравенства меняется на противоположный!

Особые случаи

• \( a^{f(x)} < y \), если \( y \le 0 \) → нет решений, так как \( a^{f(x)} > 0 \).
• \( a^{f(x)} > y \), если \( y \le 0 \) → решение - любое \( x \in \mathbb{R} \).

Методы решения неравенств

Те же, что и для уравнений, но с учётом смены знака при \( 0 < a < 1 \):

• Приведение к одному основанию.
• Замена переменной (часто сводится к квадратному неравенству).
• Вынесение общего множителя.
• Графический метод: закрашиваем область, где график одной функции выше другой.

Примеры

Пример 1 (уравнение)

Решите: \( 3^x \cdot 3^{x+2} = 9 \).

Решение:

\[ 3^{x + x + 2} = 3^2 \Rightarrow 3^{2x + 2} = 3^2 \Rightarrow 2x + 2 = 2 \Rightarrow x = 0. \]

Пример 2 (неравенство)

Решите: \( \left(\frac{1}{2}\right)^x \le 8 \).

Решение:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^x \le 2^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}. \]

Так как \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \), знак меняется:

\[ x \ge -3 \quad \Rightarrow \quad x \in [-3; +\infty). \]

Пример 3 (замена переменной)

Решите: \( 9^x - 12 \cdot 3^x + 27 < 0 \).

Решение:

\[ (3^x)^2 - 12 \cdot 3^x + 27 < 0. \]

Пусть \( t = 3^x > 0 \):

\[ t^2 - 12t + 27 < 0 \Rightarrow (t - 3)(t - 9) < 0 \Rightarrow 3 < t < 9. \]

Обратная замена:

\[ 3 < 3^x < 9 \Rightarrow 3^1 < 3^x < 3^2 \Rightarrow 1 < x < 2. \]

Полезные советы

• Всегда проверяйте, больше ли основание единицы - от этого зависит знак!
• При замене переменной не забывайте условие \( t > 0 \).
• Никогда не делите на выражение с переменной, которое может быть нулём.
• График показательной функции никогда не пересекает ось \( x \).

Запомни!

Основание \( a \)	Поведение функции \( a^x \)
\( a > 1 \)	Возрастает
\( 0 < a < 1 \)	Убывает