Что такое рациональное неравенство?

Рациональное неравенство - это неравенство, в котором переменная находится в числителе и/или знаменателе дроби, а сама дробь состоит из многочленов. Например:

\[ \frac{x - 2}{x + 3} > 0, \quad \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 4)^2} \leq 0. \]

Если в знаменателе есть переменная - это дробно-рациональное неравенство. Именно такие чаще всего вызывают сложности, потому что нужно учитывать ограничения: знаменатель не может быть равен нулю!

Главные правила

• ОДЗ (область допустимых значений) - все значения \( x \), при которых знаменатель \( \ne 0 \).
• Точки, где числитель = 0, могут входить в ответ (если неравенство нестрогое: \( \geq \) или \( \leq \)).
• Точки, где знаменатель = 0, никогда не входят в ответ - они «выколоты».

Метод интервалов - шаг за шагом

Это главный способ решения таких неравенств. Вот простой алгоритм:

Шаг 1. Перенести всё в одну часть

Сделай так, чтобы справа остался ноль:

\[ \frac{x - 2}{x + 1} - 3 > 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{x - 2 - 3(x + 1)}{x + 1} > 0. \]

Шаг 2. Привести к одной дроби и разложить на множители

Например:

\[ \frac{(x - 1)(x + 2)^2}{(x - 3)(x + 5)} \geq 0. \]

Шаг 3. Найти «критические точки»

Это нули числителя и знаменателя:

\[ x = 1,\; x = -2,\; x = 3,\; x = -5. \]

Шаг 4. Отметить их на числовой прямой

• Нули числителя: закрашены, если неравенство нестрогое (\( \geq, \leq \)).
• Нули знаменателя: всегда выколоты!

Шаг 5. Расставить знаки на интервалах

• Берём число правее самой правой точки - подставляем мысленно, смотрим знак.
• Идём слева направо (или справа налево) и меняем знак при переходе через точку, если она входит в нечётную степень.
• Если степень чётная (например, \( (x+2)^2 \)), знак не меняется.

Шаг 6. Выбрать нужные интервалы

• Если неравенство «> 0» или «\( \geq \) 0» - берём интервалы со знаком «+».
• Если «< 0» или «\( \leq \) 0» - берём интервалы со знаком «–».

Пример

Решим:

\[ \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 3)} \geq 0. \]

1. Критические точки: \( x = -2,\; x = 1,\; x = 3 \).
2. На прямой: \( -2 \) и \( 1 \) - закрашены, \( 3 \) - выколота.
3. Знаки (справа налево):
   • При \( x > 3 \): все скобки положительны → «+».
   • Через \( x = 3 \) (знаменатель, нечётная степень) → знак меняется → «–».
   • Через \( x = 1 \) → меняется → «+».
   • Через \( x = -2 \) → меняется → «–».
4. Нам нужны «+» и нули → ответ: \( [-2; 1] \cup (3; +\infty) \).

Особые случаи

• Чётная степень (например, \( (x - a)^2 \)): график «касается» оси, но не пересекает → знак не меняется.
• Квадратичные выражения без корней (дискриминант < 0): всегда одного знака - можно вычеркнуть, учитывая, положительны они или отрицательны.
• Отрицательный коэффициент перед \( x \) в линейной скобке: лучше домножить на \( -1 \), чтобы сделать «хорошей» - тогда проще определять знаки.

Системы неравенств

Если дана система, например:

\[ \begin{cases} \frac{x - 1}{x + 2} > 0 \\ x^2 - 4 \leq 0 \end{cases} \]

- решаем каждое неравенство отдельно, а потом находим пересечение решений (общую часть).

Типичные ошибки

• Забыть про ОДЗ (особенно про знаменатель!).
• Включить в ответ точку, где знаменатель = 0.
• Не учесть чётную степень - и неправильно расставить знаки.
• Перепутать «объединение» и «пересечение» в системах.

Вывод

Рациональные неравенства - это не страшно! Главное:

1. Привести к виду \( \frac{P(x)}{Q(x)} \star 0 \).
2. Найти нули числителя и знаменателя.
3. Учесть ОДЗ и тип неравенства (строгое/нестрогое).
4. Использовать метод интервалов аккуратно.

После нескольких тренировок ты будешь решать их автоматически!