Квадратные неравенства: простое объяснение для 8–9 класса

Что такое квадратное неравенство?

Квадратное неравенство - это неравенство вида:

\[ ax^2 + bx + c > 0,\quad ax^2 + bx + c < 0,\quad ax^2 + bx + c \geq 0,\quad ax^2 + bx + c \leq 0, \]

где \( a \ne 0 \), а \( x \) - переменная.
Наша задача - найти все такие значения \( x \), при которых неравенство становится верным.

Два основных способа решения

Есть два удобных способа решать квадратные неравенства:

1. Графический метод - рисуем параболу и смотрим, где она выше или ниже оси \( Ox \).
2. Метод интервалов - разбиваем числовую прямую на участки и определяем знак выражения на каждом.

Шаг 1: Найдём корни квадратного уравнения

Сначала решим уравнение:

\[ ax^2 + bx + c = 0. \]

Для этого считаем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac. \]

Возможны три случая:

• \( D > 0 \) - два разных корня: \( x_1 \) и \( x_2 \).
• \( D = 0 \) - один корень (два совпадающих): \( x = -\dfrac{b}{2a} \).
• \( D < 0 \) - корней нет (график не пересекает ось \( Ox \)).

Шаг 2: Смотрим на коэффициент \( a \)

Знак коэффициента \( a \) определяет направление ветвей параболы:

• Если \( a > 0 \) - ветви направлены вверх.
• Если \( a < 0 \) - ветви направлены вниз.

Графический метод

1. Рисуем параболу по корням и направлению ветвей.
2. Смотрим, где график находится выше оси \( Ox \) (значит, выражение \( > 0 \)) или ниже (значит, \( < 0 \)).
3. Если неравенство нестрогое (\( \geq \) или \( \leq \)), то точки пересечения с осью \( Ox \) включаются в ответ (закрашиваем кружочки).
   Если строгое (\( > \) или \( < \)) - точки не включаются (пустые кружочки).

Метод интервалов

Этот способ особенно удобен, когда уже известны корни.

1. Отмечаем корни на числовой прямой. Они делят её на промежутки.
2. Определяем знак выражения \( ax^2 + bx + c \) на каждом промежутке. Достаточно подставить одно число из промежутка!
3. Знаки чередуются, если корней два. Если корень один - знаки одинаковые слева и справа. Если корней нет - знак везде один и равен знаку \( a \).
4. Выбираем те промежутки, где знак совпадает со знаком в неравенстве.
5. Записываем ответ, не забывая про строгость/нестрогость.

Полезные правила на заметку

• При \( D > 0 \) и \( a > 0 \): знаки на промежутках + – +.
• При \( D > 0 \) и \( a < 0 \): знаки – + –.
• При \( D = 0 \): знаки одинаковые с обеих сторон от корня.
• При \( D < 0 \): знак везде такой же, как у \( a \).

Пример

Решим неравенство: \( x^2 - 5x + 6 \geq 0 \).

1. Решаем уравнение: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). Корни: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 3 \).
2. Отмечаем их на прямой. Так как \( a = 1 > 0 \), знаки: + – +.
3. Нам нужно \( \geq 0 \), то есть «плюс» и сами точки.
4. Ответ: \( (-\infty; 2] \cup [3; +\infty) \).

Итог

• Квадратные неравенства решаются через корни и знаки.
• График помогает «увидеть» решение.
• Метод интервалов - быстрый и надёжный способ без рисования.
• Главное - не забывать про строгость неравенства и направление ветвей!