Что такое неравенство?

Неравенство - это математическое выражение, в котором вместо знака «равно» (\( = \)) стоят знаки:

\[ < \quad (\text{меньше}), \qquad > \quad (\text{больше}), \qquad \leq \quad (\text{меньше или равно}), \qquad \geq \quad (\text{больше или равно}). \]

Примеры:

\[ 2x + 3 > 7, \qquad x^2 - 4 \leq 0, \qquad \frac{x+1}{x-2} < 0. \]

Решить неравенство - значит найти все такие значения переменной \( x \), при которых оно становится верным.

Типы неравенств

• Линейные: неизвестное только в первой степени. Пример: \( 5x - 2 < 8 \).
• Квадратные: содержат \( x^2 \). Пример: \( x^2 - 5x + 6 > 0 \).
• Дробно-рациональные: есть дробь с переменной в знаменателе. Пример: \( \frac{x+1}{x-3} \leq 0 \).
• Иррациональные: переменная под корнем. Пример: \( \sqrt{x+2} > 1 \).

Как решать линейные неравенства

Алгоритм:

1. Перенести все слагаемые с \( x \) в одну часть, числа - в другую.
2. Упростить до вида \( ax > b \) (или другой знак).
3. Разделить обе части на коэффициент \( a \).
   • Если \( a > 0 \) - знак не меняется.
   • Если \( a < 0 \) - знак меняется на противоположный!
4. Записать ответ в виде промежутка.

Пример: Решим \( -3x + 6 > 0 \).

\[ -3x > -6 \quad \Rightarrow \quad x < 2 \quad \Rightarrow \quad \text{Ответ: } (-\infty; 2). \]

Квадратные неравенства и метод интервалов

Алгоритм:

1. Решить уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \) (найти корни).
2. Нанести корни на числовую прямую.
   • Круглые скобки (пустые точки), если знак строгий (\( < \) или \( > \)).
   • Квадратные скобки (закрашенные точки), если знак нестрогий (\( \leq \) или \( \geq \)).
3. Определить знаки на каждом промежутке (подставить пробное число).
4. Выбрать те промежутки, где знак совпадает со знаком неравенства.

Пример: \( x^2 + x - 2 > 0 \).

Корни: \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 1 \).
Знаки: \( (-\infty, -2) \) - «+», \( (-2, 1) \) - «–», \( (1, +\infty) \) - «+».
Нужны «+» → Ответ: \( (-\infty; -2) \cup (1; +\infty) \).

Дробно-рациональные неравенства

Особенность: знаменатель не может быть равен нулю!

Правила:

• Корни числителя - могут входить в ответ (если знак нестрогий).
• Корни знаменателя - всегда выколоты (пустые точки)!
• Нельзя сокращать одинаковые множители в числителе и знаменателе - можно потерять точку!

Пример: \( \frac{x+1}{x-2} \leq 0 \).

• Числитель: \( x = -1 \) → закрашена (знак \( \leq \)).
• Знаменатель: \( x = 2 \) → выколота.
• Знаки: \( (-\infty, -1) \) - «+», \( (-1, 2) \) - «–», \( (2, +\infty) \) - «+».
• Нужны «–» и ноль → Ответ: \( [-1; 2) \).

Иррациональные неравенства

Содержат корень: \( \sqrt{f(x)} > g(x) \).
Важно: подкоренное выражение \( \geq 0 \) - это ОДЗ!

Пример: \( \sqrt{x+3} > 2 \).

1. ОДЗ: \( x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3 \).
2. Возводим в квадрат (обе части \( \geq 0 \)): \( x + 3 > 4 \Rightarrow x > 1 \).
3. Пересечение: \( x \geq -3 \) и \( x > 1 \) → \( x > 1 \).
4. Ответ: \( (1; +\infty) \).

Системы неравенств

Система - это несколько неравенств, объединённых фигурной скобкой.
Решение системы - это пересечение решений каждого неравенства.

Алгоритм:

1. Решить каждое неравенство отдельно.
2. Изобразить решения на одной числовой прямой.
3. Найти общую часть (пересечение).

Пример:

\[ \begin{cases} x > -1 \\ x \leq 3 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \text{Ответ: } (-1; 3]. \]

Если пересечения нет - система не имеет решений.

Как записывать ответы

Неравенство	Точка на прямой	Запись промежутка
\( x < a \)	пустая	\( (-\infty; a) \)
\( x \leq a \)	закрашенная	\( (-\infty; a] \)
\( x > a \)	пустая	\( (a; +\infty) \)
\( x \geq a \)	закрашенная	\( [a; +\infty) \)

Важно: скобка рядом с \( \pm\infty \) всегда круглая!

Почему это полезно?

Неравенства встречаются в жизни постоянно:

• Сравнение цен в магазине.
• Ограничения по возрасту или росту («рост \( \geq \) 120 см»).
• Погода: «температура от \( -5^\circ \) до \( +3^\circ \)» - это двойное неравенство: \( -5 \leq t \leq 3 \).