Сложение и вычитание матриц

Основное правило

Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковых размеров.
Если матрица \( A \) имеет размер \( m \times n \), то и матрица \( B \) должна быть тоже \( m \times n \).

Определение

Пусть даны две матрицы одинакового размера:

\[ A = (a_{ij})_{m \times n}, \quad B = (b_{ij})_{m \times n}. \]

Тогда их сумма и разность определяются поэлементно:

\[ A + B = (a_{ij} + b_{ij})_{m \times n}, \qquad A - B = (a_{ij} - b_{ij})_{m \times n}. \]

Пример

Рассмотрим две матрицы размера \( 2 \times 2 \):

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}. \]

Сумма:

\[ A + B = \begin{pmatrix} 1+0 & 2+(-1) \\ 3+5 & 4+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 8 & 6 \end{pmatrix}. \]

Разность:

\[ A - B = \begin{pmatrix} 1-0 & 2-(-1) \\ 3-5 & 4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}. \]

Важные замечания

• Если размеры матриц не совпадают, операции сложения и вычитания невозможны.
• Результатом всегда является матрица того же размера.
• При вычитании удобно «вносить минус внутрь»: \( A - B = A + (-1) \cdot B \).