Что такое определитель?

Определитель (или детерминант) - это число, которое можно вычислить только для квадратной матрицы. Он обозначается как \( \det A \) или \( |A| \).

Определитель 2-го порядка

Для матрицы размера \( 2 \times 2 \):

\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad \det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc. \]

Определитель 3-го порядка

Есть два простых способа:

1. По формуле (прямое вычисление)

\[ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}. \]

2. Правило Саррюса («параллельные полоски»)

Справа от матрицы дописывают первые два столбца и считают сумму произведений по диагоналям:

• «+»: главные диагонали (слева направо вниз),
• «−»: побочные диагонали (справа налево вниз).

Разложение по строке или столбцу (универсальный метод)

Подходит для матриц любого порядка. Для матрицы \( 3 \times 3 \) разложение по первой строке:

\[ \det A = a_{11} \cdot M_{11} - a_{12} \cdot M_{12} + a_{13} \cdot M_{13}, \]

где \( M_{ij} \) - минор элемента \( a_{ij} \), то есть определитель матрицы, полученной вычёркиванием \( i \)-й строки и \( j \)-го столбца.

Знаки при разложении чередуются по шахматному принципу:

\[ \begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix} \]

Определитель 4-го порядка и выше

Используется тот же метод - разложение по строке или столбцу. Например, разложение по 4-му столбцу:

\[ \det A = \sum_{i=1}^{4} (-1)^{i+4} a_{i4} \cdot M_{i4}. \]

Каждый минор \( M_{i4} \) - это определитель матрицы \( 3 \times 3 \), который уже умеем вычислять.

Важные замечания

• Нельзя менять местами числа внутри определителя произвольно.
• Все методы дают один и тот же результат - выбирайте наиболее удобный.
• При вычислениях будьте внимательны со знаками!