Что такое обратная матрица?

Пусть \( A \) - квадратная матрица размера \( n \times n \). Матрица \( A^{-1} \) называется обратной к \( A \), если выполняется равенство:

где \( E \) - единичная матрица того же порядка (\( e_{ii} = 1 \), остальные элементы - нули).

Аналогия из арифметики: как число \( 5 \) и его обратное \( \frac{1}{5} \) дают в произведении \( 1 \), так и матрица с обратной дают единичную матрицу.

Когда существует обратная матрица?

Обратная матрица существует только у квадратных невырожденных матриц, то есть таких, у которых определитель не равен нулю:

Если \( \det(A) = 0 \), матрица называется вырожденной, и обратной к ней не существует.

Свойства обратной матрицы

1. Единственность: если обратная матрица существует, то она единственна.
2. Инволютивность: \( (A^{-1})^{-1} = A \).
3. Произведение: \( (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} \) (порядок меняется!).
4. Транспонирование: \( (A^{-1})^{\top} = (A^{\top})^{-1} \).
5. Определитель: \( \det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det(A)} \).
6. Коммутативность умножения: \( A A^{-1} = A^{-1} A = E \) (это редкий случай, когда умножение матриц коммутативно).

Метод 1: через алгебраические дополнения

Для нахождения обратной матрицы используется формула:

где \( C^{\top} \) - транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Шаги алгоритма

1. Вычислить \( \det(A) \). Если \( \det(A) = 0 \), остановиться - обратной нет.
2. Для каждого элемента \( a_{ij} \) найти его минор \( M_{ij} \) - определитель подматрицы, полученной вычёркиванием \( i \)-й строки и \( j \)-го столбца.
3. Найти алгебраическое дополнение: \[ A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}. \]
4. Составить матрицу \( C = (A_{ij}) \).
5. Транспонировать её: \( C^{\top} \).
6. Умножить на \( \dfrac{1}{\det(A)} \).

Пример для матрицы \( 2 \times 2 \)

Пусть \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad \det(A) = ad - bc \ne 0. \] Тогда \[ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}. \]

Метод 2: метод Гаусса–Жордана (элементарные преобразования)

Этот метод эффективен для матриц любого размера и особенно удобен при программировании.

Алгоритм

1. Составить расширенную матрицу \( (A \mid E) \), где \( E \) - единичная матрица того же порядка.
2. С помощью элементарных преобразований строк привести левую часть к единичной матрице.
3. В результате получится \( (E \mid A^{-1}) \), и правая часть - искомая обратная матрица.

Элементарные преобразования строк

• Перестановка двух строк.
• Умножение строки на ненулевое число.
• Прибавление к одной строке другой, умноженной на число.

Проверка результата

После нахождения \( A^{-1} \) всегда проверяйте:

Если результат - не единичная матрица, где-то допущена ошибка.

Заключение

Обратная матрица - мощный инструмент линейной алгебры. Главное - помнить два условия:

• Матрица должна быть квадратной.
• Её определитель не должен быть нулём.

При соблюдении этих условий вы всегда сможете найти обратную матрицу одним из двух рассмотренных методов.