Умножение матриц

1. Можно ли делить матрицы?

В линейной алгебре деление матриц не определено.
Однако, если матрица \( A \) обратима (т.\,е. существует матрица \( A^{-1} \)), то «деление» на \( A \) заменяют умножением на \( A^{-1} \):

в зависимости от контекста. Но это уже тема «обратные матрицы», а не базовое арифметическое действие.

2. Умножение матриц: когда возможно?

Пусть даны две матрицы:

• \( A \) размера \( m \times n \) (то есть \( m \) строк и \( n \) столбцов),
• \( B \) размера \( p \times q \).

Матрицы \( A \) и \( B \) можно умножить только если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй:

Тогда произведение \( C = A \cdot B \) будет иметь размер \( m \times q \).

Пример:
Матрицу \( 2 \times 3 \) можно умножить на матрицу \( 3 \times 4 \), и результат будет \( 2 \times 4 \).
Но умножить \( 2 \times 3 \) на \( 2 \times 4 \) - нельзя!

3. Как умножать матрицы?

Элемент \( c_{ij} \) результирующей матрицы \( C = A \cdot B \) вычисляется как скалярное произведение \( i \)-й строки матрицы \( A \) на \( j \)-й столбец матрицы \( B \):

Пример:
Пусть \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}. \] Тогда \[ A \cdot B = \begin{pmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}. \]

4. Важные свойства умножения матриц

• Некоммутативность: в общем случае \( A \cdot B \ne B \cdot A \). Более того, одно из этих произведений может быть вообще не определено.
• Ассоциативность: \( (A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C) \), если все произведения имеют смысл.
• Дистрибутивность: \[ A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C, \quad (A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C. \]

5. Особые случаи

• Если \( A \cdot B = 0 \) (нулевая матрица), это не означает, что \( A = 0 \) или \( B = 0 \).
• Матрицы \( A \) и \( B \) называются перестановочными (или коммутирующими), если \( A \cdot B = B \cdot A \). Такие матрицы встречаются редко и всегда квадратные.

6. Умножение матрицы на вектор

Вектор-столбец - это матрица размера \( n \times 1 \).
Если \( A \) - матрица \( m \times n \), а \( \mathbf{x} \) - вектор \( n \times 1 \), то их произведение \( A \cdot \mathbf{x} \) - это вектор \( m \times 1 \):