Возведение матрицы в степень

Основные определения

Возведение матрицы в степень - это операция, при которой квадратная матрица умножается сама на себя заданное количество раз.

\[ A^k = \underbrace{A \cdot A \cdot \ldots \cdot A}_{k\ \text{раз}}, \quad k \in \mathbb{N} \]

Важно! Возведение в степень определено только для квадратных матриц (то есть матриц размера \( n \times n \)).

Примеры степеней

• \( A^1 = A \)
• \( A^2 = A \cdot A \)
• \( A^3 = A \cdot A \cdot A = A^2 \cdot A \)
• \( A^4 = A^2 \cdot A^2 \) (иногда удобнее вычислять так, чем последовательно)

Свойства степеней матриц

Для любой квадратной матрицы \( A \) и натуральных чисел \( m, n \) выполняются следующие свойства:

1. \( A^m \cdot A^n = A^{m+n} \)
2. \( (A^m)^n = A^{m \cdot n} \)
3. Умножение матриц не коммутативно, но при возведении в степень это не мешает, так как используется одна и та же матрица.
4. При вычислении высоких степеней часто применяется ассоциативность умножения: \[ A^4 = ((A \cdot A) \cdot A) \cdot A = (A^2) \cdot (A^2) \]

Практические советы

• Сначала вычислите \( A^2 \), затем используйте его для нахождения \( A^3 = A^2 \cdot A \), \( A^4 = A^2 \cdot A^2 \) и т.д.
• Проверяйте размерность: результат умножения квадратных матриц - тоже квадратная матрица того же порядка.
• Не пытайтесь складывать матрицу с числом или возводить неквадратную матрицу в степень - такие операции не определены.

Пример вычисления

Пусть \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \]

Тогда:

\[ A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \] \[ A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 19 \\ 0 & 27 \end{pmatrix} \]