Что такое транспонирование матрицы?
Транспонирование матрицы - это операция, при которой строки исходной матрицы становятся столбцами новой (транспонированной) матрицы, а столбцы - строками.
Если дана матрица \( A \) размера \( m \times n \), то её транспонированная матрица обозначается как \( A^{\top} \) и имеет размер \( n \times m \).
Формальное определение
Пусть \( A = (a_{ij}) \) - матрица размера \( m \times n \). Тогда транспонированная матрица \( A^{\top} = (b_{ij}) \) размера \( n \times m \) определяется так:
\[
b_{ij} = a_{ji}, \quad \text{для всех } i = 1,\dots,n;\ j = 1,\dots,m.
\]
Примеры
- Однострочная матрица (вектор-строка):
\[
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
\quad \Rightarrow \quad
A^{\top} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}
\]
- Матрица \( 2 \times 3 \):
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}
\quad \Rightarrow \quad
A^{\top} = \begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6
\end{pmatrix}
\]
Геометрическая аналогия
Можно представить транспонирование как «отражение» матрицы относительно её главной диагонали (идущей из левого верхнего угла в правый нижний). Элементы, стоящие на главной диагонали, остаются на месте.
Свойства транспонирования
- \( (A^{\top})^{\top} = A \) - двойное транспонирование возвращает исходную матрицу.
- \( (A + B)^{\top} = A^{\top} + B^{\top} \) - транспонирование суммы.
- \( (kA)^{\top} = kA^{\top} \), где \( k \) - число.
- \( (AB)^{\top} = B^{\top} A^{\top} \) - обратный порядок при транспонировании произведения.
Зачем это нужно?
Транспонирование часто используется:
- в линейной алгебре для работы с векторами и скалярными произведениями,
- в машинном обучении (например, при работе с признаками и весами),
- при решении систем линейных уравнений и в теории квадратичных форм.