Что такое уравнение?

Уравнение - это математическое равенство, в котором есть неизвестное число (обычно обозначается буквой \(x\)). Наша задача - найти такое значение \(x\), чтобы равенство стало верным.

Пример: \[ 2 + x = 6 \] Если подставить \(x = 4\), получится \(2 + 4 = 6\) - верно! Значит, \(x = 4\) - корень уравнения.

Что значит «решить уравнение»?

Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Иногда бывает:

• один корень,
• ни одного корня,
• бесконечно много корней (любое число подходит).

Что такое линейное уравнение?

Линейное уравнение - это уравнение, в котором неизвестное стоит только в первой степени (без квадратов, кубов и т.д.).

Общий вид: \[ ax + b = 0, \] где \(a\) и \(b\) - известные числа, а \(x\) - неизвестное.

Примеры:

• \(3x - 6 = 0\)
• \(-x + 5 = 0\)
• \(0.5x = 2\)

Как решать линейные уравнения?

Вот простой план:

Шаг 1. Раскрой скобки (если есть)

Используй правило: \[ k(a + b) = ka + kb,\quad -(a - b) = -a + b. \]

Шаг 2. Перенеси всё с \(x\) в одну сторону, числа - в другую

При переносе через знак «=» меняй знак на противоположный!

Пример: \[ x + 3 = 7 \;\Rightarrow\; x = 7 - 3 = 4. \]

Шаг 3. Приведи подобные слагаемые

Подобные - это те, у которых одинаковая буквенная часть. Например: \(5x - 2x = 3x\).

Шаг 4. Раздели обе части на коэффициент при \(x\)

Пример: \[ 4x = 12 \;\Rightarrow\; x = 12 : 4 = 3. \]

Особые случаи

Рассмотрим уравнение вида \(ax + b = 0\):

• Если \(a \ne 0\) → один корень: \(x = -\dfrac{b}{a}\).
• Если \(a = 0\), но \(b \ne 0\) → решений нет. Пример: \(0x + 5 = 0 \Rightarrow 5 = 0\) - невозможно!
• Если \(a = 0\) и \(b = 0\) → любое число подходит. Пример: \(0x + 0 = 0 \Rightarrow 0 = 0\) - верно всегда!

Правила, которые помогут не ошибиться

1. При переносе слагаемого через «=» меняй знак.
2. При раскрытии скобок перед минусом: \(-(2x - 3) = -2x + 3\).
3. Делить нужно всё выражение, а не только одно число.
4. Всегда проверяй ответ: подставь найденное \(x\) в исходное уравнение.

Примеры решения

Пример 1

\[ 6x + 1 = 19 \] \[ \begin{aligned} 6x &= 19 - 1 = 18 \\ x &= 18 : 6 = 3 \end{aligned} \]

Проверка: \(6 \cdot 3 + 1 = 18 + 1 = 19\) - верно!

Пример 2

\[ 5(x - 3) + 2 = 3(x - 4) + 2x - 1 \] \[ \begin{aligned} 5x - 15 + 2 &= 3x - 12 + 2x - 1 \\ 5x - 13 &= 5x - 13 \\ 0x &= 0 \end{aligned} \]

Ответ: любое число - уравнение верно всегда.

Пример 3

\[ x + 7 = x + 4 \] \[ \begin{aligned} x - x &= 4 - 7 \\ 0 &= -3 \end{aligned} \]

Это неверно! Значит, решений нет.

Зачем это нужно?

Линейные уравнения встречаются везде:

• В задачах на движение: путь = скорость × время.
• В покупках: цена × количество = стоимость.
• В нахождении возраста, количества предметов и т. д.