Введение

Логарифмы - это не страшно! На самом деле, логарифм - это просто другой способ записать степень. Если ты умеешь работать со степенями, то и с логарифмами быстро разберёшься. Эта шпаргалка поможет тебе понять, что такое логарифм, какими свойствами он обладает и как решать уравнения и неравенства с логарифмами.

Что такое логарифм?

Логарифм числа \( b \) по основанию \( a \) - это показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \).

Пример:
\( \log_2 8 = 3 \), потому что \( 2^3 = 8 \).

Область допустимых значений (ОДЗ)

Логарифм определён только при следующих условиях:

• Основание \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \);
• Аргумент \( b > 0 \).

Эти условия обязательно проверяются при решении любых задач с логарифмами!

Основные виды логарифмов

• Десятичный логарифм - основание 10. Обозначается \( \lg b \).
  Пример: \( \lg 100 = 2 \), так как \( 10^2 = 100 \).
• Натуральный логарифм - основание \( e \approx 2{,}718 \). Обозначается \( \ln b \).
  Пример: \( \ln e = 1 \), так как \( e^1 = e \).
• Логарифм с произвольным основанием - используется в общих формулах и задачах.

Свойства логарифмов

Эти формулы помогут упрощать выражения и решать уравнения:

1. Основное логарифмическое тождество:
   \[ a^{\log_a b} = b \]
2. Логарифм произведения:
   \[ \log_a (bc) = \log_a b + \log_a c \]
3. Логарифм частного:
   \[ \log_a \left( \frac{b}{c} \right) = \log_a b - \log_a c \]
4. Логарифм степени:
   \[ \log_a (b^m) = m \log_a b \]
5. Переход к новому основанию:
   \[ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \]
6. Логарифм единицы и основания:
   \[ \log_a 1 = 0, \qquad \log_a a = 1 \]
7. Обратное основание:
   \[ \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \]

Как решать логарифмические уравнения?

Логарифмическое уравнение - это уравнение, где переменная стоит под знаком логарифма (в аргументе или в основании).

Алгоритм решения

1. Запиши ОДЗ: проверь, чтобы все аргументы были \(>0\), а основания \(>0\) и \(\ne 1\).
2. Упрости уравнение с помощью свойств логарифмов.
3. Приведи к простому виду и реши.
4. Проверь корни на соответствие ОДЗ.

Типы уравнений

• Простейшие: \( \log_a f(x) = b \Rightarrow f(x) = a^b \)
• Равные логарифмы:
  Если \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \), то \( f(x) = g(x) \) (при одинаковом основании и соблюдении ОДЗ).
• Сложные уравнения: используют замену переменной, сворачивание в один логарифм, переход к новому основанию.

Пример

Решим уравнение: \( \log_2 (5x - 4) = \log_2 (x + 8) \)

1. ОДЗ: \( 5x - 4 > 0 \Rightarrow x > \frac{4}{5} \); \( x + 8 > 0 \Rightarrow x > -8 \). Итого: \( x > \frac{4}{5} \).
2. Приравниваем аргументы: \( 5x - 4 = x + 8 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow x = 3 \).
3. Проверка: \( 3 > \frac{4}{5} \) - подходит.

Ответ: \( x = 3 \).

Как решать логарифмические неравенства?

Неравенство, где переменная стоит под логарифмом.

Правило знака

При переходе от логарифмического неравенства к неравенству аргументов:

• Если основание \( a > 1 \) - знак неравенства сохраняется.
• Если \( 0 < a < 1 \) - знак неравенства меняется на противоположный.

Пример

Решим: \( \log_{\frac{1}{5}} x \geq 2 \)

1. ОДЗ: \( x > 0 \).
2. Перепишем правую часть: \( 2 = \log_{\frac{1}{5}} \left( \frac{1}{25} \right) \).
3. Так как основание \( \frac{1}{5} < 1 \), знак меняется:
   \( x \leq \frac{1}{25} \).
4. С учётом ОДЗ: \( 0 < x \leq \frac{1}{25} \).

Ответ: \( x \in \left( 0; \frac{1}{25} \right] \).

Практическое применение логарифмов

Логарифмы встречаются повсюду:

• В физике - радиоактивный распад, уровень громкости (децибелы).
• В химии - шкала pH: \( \mathrm{pH} = -\lg [\mathrm{H}^+] \).
• В экономике - сложные проценты, рост капитала.
• В информатике - оценка сложности алгоритмов (\( O(\log n) \)).

Главные советы на ЕГЭ

• Никогда не забывай про ОДЗ!
• Не путай: \( \log_a (b + c) \ne \log_a b + \log_a c \).
• При возведении в чётную степень (например, \( \log (x-1)^2 \)) помни, что ОДЗ - \( x \ne 1 \), а не \( x > 1 \).
• Если в основании логарифма стоит переменная - пиши условия и для неё тоже!