Тригонометрические уравнения

Введение

Тригонометрические уравнения - это уравнения, в которых неизвестное (обычно \( x \)) стоит под знаком тригонометрической функции: \( \sin x \), \( \cos x \), \( \tan x \), \( \cot x \).
Основная цель при решении таких уравнений - свести их к простейшим, которые мы умеем решать по готовым формулам.

Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнения вида \( \sin x = a \)

Решение существует только при \( |a| \leq 1 \). Общее решение:

\[ x = (-1)^k \arcsin a + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}. \]

Частные случаи:

• \( \sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k \)
• \( \sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \)
• \( \sin x = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k \)

Уравнения вида \( \cos x = a \)

Решение существует только при \( |a| \leq 1 \). Общее решение:

\[ x = \pm \arccos a + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}. \]

Частные случаи:

• \( \cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \)
• \( \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k \)
• \( \cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi k \)

Уравнения вида \( \tan x = a \) и \( \cot x = a \)

Решения существуют при любом \( a \in \mathbb{R} \):

\[ \tan x = a \Rightarrow x = \arctan a + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}, \] \[ \cot x = a \Rightarrow x = \operatorname{arccot} a + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}. \]

Основные тригонометрические формулы

Основное тригонометрическое тождество

\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1. \]

Связь между функциями

\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x},\quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x},\quad \tan x \cdot \cot x = 1. \]

Формулы двойного угла

\[ \sin 2x = 2\sin x \cos x, \] \[ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x. \]

Формулы понижения степени

\[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2},\quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}. \]

Чётность и нечётность

\[ \cos(-x) = \cos x \quad (\text{чётная}), \] \[ \sin(-x) = -\sin x,\quad \tan(-x) = -\tan x,\quad \cot(-x) = -\cot x \quad (\text{нечётные}). \]

Типы тригонометрических уравнений и методы их решения

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Если уравнение содержит только одну тригонометрическую функцию (например, только \( \sin x \)), можно сделать замену:

\[ t = \sin x \quad \text{или} \quad t = \cos x, \]

получить квадратное уравнение, решить его, а затем вернуться к переменной \( x \).

Пример:
\( 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0 \).
Пусть \( t = \sin x \), тогда \( 2t^2 - 3t + 1 = 0 \).
Решаем: \( t_1 = 1 \), \( t_2 = \frac{1}{2} \).
Обратно: \( \sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \),
\( \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \).

Однородные уравнения

Уравнение называется однородным, если все его слагаемые - одночлены одинаковой степени от \( \sin x \) и \( \cos x \).

Пример:
\( \sin x - \sqrt{3}\cos x = 0 \).
Делим обе части на \( \cos x \) (при условии \( \cos x \ne 0 \)):
\( \tan x = \sqrt{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \pi k \).

Уравнения с разными функциями одного угла

Используем основные тождества, чтобы выразить всё через одну функцию (чаще всего \( \sin x \) или \( \cos x \)).

Пример:
\( \sin^2 x + \tan x \cdot \cos x = 1 \).
Заменим \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \), получим:
\( \sin^2 x + \sin x = 1 \Rightarrow \sin^2 x + \sin x - 1 = 0 \) - квадратное уравнение.

Уравнения с разными углами

Используем формулы приведения, двойного угла, суммы/разности аргументов, чтобы привести всё к одному углу.

Пример:
\( \sin 2x = \cos x \).
Заменим \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \):
\( 2\sin x \cos x - \cos x = 0 \Rightarrow \cos x (2\sin x - 1) = 0 \).
Решаем два уравнения: \( \cos x = 0 \) и \( \sin x = \frac{1}{2} \).

Общий алгоритм решения тригонометрических уравнений

1. Упростить уравнение с помощью формул.
2. Привести к одному типу функций (например, только \( \sin x \)).
3. Сделать замену переменной, если возможно.
4. Решить полученное алгебраическое уравнение.
5. Вернуться к переменной \( x \) и записать общее решение.
6. При необходимости - отобрать корни, принадлежащие заданному промежутку.

Полезные советы

• Всегда проверяйте ОДЗ (особенно при делении на \( \sin x \) или \( \cos x \)).
• Помните: \( \sin x \) и \( \cos x \) принимают значения только от \( -1 \) до \( 1 \).
• Если забыли формулу - попробуйте вывести её из основного тождества или формул двойного угла.
• Используйте тригонометрическую окружность для наглядного понимания решений.