Что такое система уравнений?

Представь, что у тебя есть два уравнения с двумя неизвестными - например, \( x \) и \( y \). Каждое уравнение само по себе имеет много решений. Но если эти уравнения «работают вместе», то мы получаем систему уравнений.

Цель - найти такие числа \( x \) и \( y \), которые одновременно подходят и к первому, и ко второму уравнению.

Пример системы:

\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases} \]

Графическая интерпретация

Каждое линейное уравнение вида \( ax + by + c = 0 \) можно нарисовать как прямую на координатной плоскости.

Возможны три случая:

• Прямые пересекаются - тогда система имеет одно решение.
• Прямые параллельны - решений нет.
• Прямые совпадают - решений бесконечно много.

Как решать системы уравнений?

Есть два основных способа, которые проходят в 7–8 классе:

1. Метод подстановки

Алгоритм:

1. Из одного уравнения вырази одну переменную через другую (например, \( x = 3 + y \)).
2. Подставь это выражение во второе уравнение.
3. Реши получившееся уравнение с одной переменной.
4. Найди вторую переменную, подставив найденное значение обратно.

Пример:

\[ \begin{cases} x - y = 4 \\ x + 2y = 10 \end{cases} \Rightarrow x = 4 + y \Rightarrow 4 + y + 2y = 10 \Rightarrow y = 2,\; x = 6. \]

Ответ: \( (6; 2) \).

2. Метод сложения

Алгоритм:

1. Умножь одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты при одной переменной стали противоположными (например, \( +3y \) и \( -3y \)).
2. Сложи уравнения - одна переменная исчезнет.
3. Реши уравнение с оставшейся переменной.
4. Найди вторую переменную.

Пример:

\[ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - 3y = 5 \end{cases} \Rightarrow (2x + 4x) + (3y - 3y) = 7 + 5 \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow x = 2. \]

Подставляем: \( 2(2) + 3y = 7 \Rightarrow y = 1 \). Ответ: \( (2; 1) \).

Особые случаи

Иногда система может:

• Не иметь решений, если уравнения противоречат друг другу (например, \( x + y = 3 \) и \( x + y = 5 \)).
• Иметь бесконечно много решений, если оба уравнения на самом деле одинаковые (например, \( 2x + 2y = 6 \) и \( x + y = 3 \)).

Зачем это нужно?

Системы уравнений помогают решать реальные задачи: найти цену двух товаров, определить скорость движения, рассчитать количество ингредиентов и т.д. Главное - научиться видеть, где спрятаны две связи между двумя неизвестными!

Полезные советы

• Всегда проверяй ответ, подставляя его в оба уравнения.
• Если запутался - попробуй нарисовать графики. Иногда картинка всё объясняет!
• Тренируйся! Чем больше решаешь, тем легче становится.