Что такое неравенство?

Неравенство - это математическое выражение, в котором вместо знака «равно» (=) стоят знаки:

• \( < \) - меньше,
• \( > \) - больше,
• \( \leq \) - меньше или равно,
• \( \geq \) - больше или равно.

Примеры:
\( 2x + 3 > 7 \),   \( 5 - x \leq 10 \).

Что значит «решить неравенство»?

Решить неравенство - значит найти все такие числа (значения переменной), при которых неравенство становится верным.

Например, в неравенстве \( x + 2 > 5 \):

• если подставить \( x = 4 \), получится \( 4 + 2 = 6 > 5 \) - верно;
• если подставить \( x = 1 \), получится \( 1 + 2 = 3 > 5 \) - неверно.

Значит, \( x = 4 \) - решение, а \( x = 1 \) - нет.

Что такое линейное неравенство?

Линейное неравенство с одной переменной - это неравенство вида:

\[ ax + b < 0,\quad ax + b > 0,\quad ax + b \leq 0,\quad ax + b \geq 0, \]

где \( a \) и \( b \) - известные числа, а \( x \) - неизвестная переменная. Главное: переменная \( x \) стоит только в первой степени (без квадратов, корней и т.п.).

Как решать линейные неравенства?

Решают их почти так же, как уравнения, но есть важное правило:

1. Перенос слагаемых - можно переносить любое слагаемое из одной части в другую, меняя у него знак. Знак неравенства при этом не меняется.

Пример: \( 3x - 5 > 10 \) → \( 3x > 10 + 5 \) → \( 3x > 15 \).

2. Деление или умножение на положительное число - знак неравенства не меняется.

Пример: \( 3x > 15 \) → \( x > 5 \).

3. Деление или умножение на отрицательное число - знак неравенства меняется на противоположный!

Пример: \( -2x > 6 \) → \( x < -3 \) (знак поменяли!).

Особые случаи

Иногда после упрощений получается что-то вроде:

• \( 0x > 5 \) → то есть \( 0 > 5 \). Это неверно, значит, решений нет.
• \( 0x < 10 \) → то есть \( 0 < 10 \). Это всегда верно, значит, любое число - решение.

Ответ записывается как числовой промежуток

Примеры:

• \( x > 3 \) → \( (3; +\infty) \)
• \( x \leq -2 \) → \( (-\infty; -2] \)
• Все числа → \( (-\infty; +\infty) \)
• Нет решений → \( \varnothing \)

Полезные советы

• Всегда проверяй, на какое число делишь: положительное или отрицательное!
• Если неравенство строгое (\( < \) или \( > \)), точка на числовой прямой - выколотая (не включается).
• Если нестрогое (\( \leq \) или \( \geq \)), точка - закрашенная (включается).

Пример решения

Решим: \( -4x + 8 \leq 20 \)

\[ \begin{align*} -4x &\leq 20 - 8 \\ -4x &\leq 12 \\ x &\geq -3 \quad \text{разделили на -4, поменяли знак!} \end{align*} \]

Ответ: \( x \geq -3 \), или \( [-3; +\infty) \).