Что такое модуль?

Модуль числа - это его расстояние до нуля на координатной прямой. Он всегда неотрицателен.

\[ |a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \geq 0, \\ -a, & \text{если } a < 0. \end{cases} \]

Примеры:

\[ |5| = 5,\quad |-3| = 3,\quad |0| = 0. \]

Основные свойства модуля:

1. \( |a| \geq 0 \) - модуль никогда не бывает отрицательным.
2. \( |a| = |-a| \) - противоположные числа имеют одинаковый модуль.
3. \( |ab| = |a|\cdot|b| \), \( \displaystyle \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|} \) (при \( b \ne 0 \)).
4. \( |a + b| \leq |a| + |b| \) - неравенство треугольника.
5. \( \sqrt{a^2} = |a| \), \( |a|^2 = a^2 \).

График функции с модулем

График функции \( y = |x| \) выглядит как «галочка» с вершиной в начале координат.

• Часть графика, которая была ниже оси \( x \), отражается вверх.
• Если перед модулем стоит минус: \( y = -|x| \), то график переворачивается вниз.
• Сдвиги:
  • \( y = |x + a| \) - сдвиг влево на \( a \) единиц.
  • \( y = |x - a| \) - сдвиг вправо на \( a \) единиц.
  • \( y = |x| + b \) - сдвиг вверх на \( b \) единиц.

Как решать уравнения с модулем

1. Простейший случай: \( |f(x)| = a \)

Если \( a < 0 \) - решений нет (модуль не может быть отрицательным).
Если \( a = 0 \) - уравнение имеет одно решение: \( f(x) = 0 \).
Если \( a > 0 \) - получаем два уравнения:

\[ |f(x)| = a \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} f(x) = a, \\ f(x) = -a. \end{cases} \]

Пример: \( |4x - 1| = 7 \)

\[ \begin{cases} 4x - 1 = 7 \Rightarrow x = 2,\\ 4x - 1 = -7 \Rightarrow x = -1.5. \end{cases} \quad \Rightarrow \text{Ответ: } x = 2,\; x = -1.5. \]

2. Уравнение вида \( |f(x)| = g(x) \)

Здесь важно помнить: правая часть должна быть \( \geq 0 \), так как модуль \( \geq 0 \).

Решаем систему:

\[ |f(x)| = g(x) \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} g(x) \geq 0, \\ f(x) = g(x) \quad \text{или} \quad f(x) = -g(x). \end{cases} \]

Пример: \( |x| = 3x - 5 \)

Сначала требуем: \( 3x - 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{5}{3} \).

Теперь решаем:

\[ \begin{cases} x = 3x - 5 \Rightarrow x = 2.5,\\ x = -(3x - 5) \Rightarrow x = 1.25. \end{cases} \]

Проверяем условие \( x \geq \frac{5}{3} \approx 1.67 \): подходит только \( x = 2.5 \).

3. Уравнения с несколькими модулями

Алгоритм:

1. Найти нули всех подмодульных выражений.
2. Разбить числовую прямую на промежутки этими точками.
3. На каждом промежутке определить знак каждого выражения под модулем.
4. Раскрыть модули (с плюсом, если выражение \( \geq 0 \), и с минусом - если \( < 0 \)).
5. Решить полученное уравнение и проверить, попадает ли корень в текущий промежуток.

Пример: \( |x - 2| - |x + 2| = 4x - 5 \)

Нули: \( x = 2 \), \( x = -2 \). Промежутки: \( (-\infty, -2),\; [-2, 2),\; [2, +\infty) \).

На каждом промежутке раскрываем модули и решаем. Получаем единственное решение: \( x = \frac{5}{6} \).

4. Уравнение вида \( |f(x)| = |g(x)| \)

Можно возвести обе части в квадрат (так как обе части \( \geq 0 \)):

\[ |f(x)| = |g(x)| \quad \Longleftrightarrow \quad f^2(x) = g^2(x) \quad \Longleftrightarrow \quad (f(x) - g(x))(f(x) + g(x)) = 0. \]

Пример: \( |x - 2| = |2x + 8| \)

\[ (x - 2)^2 = (2x + 8)^2 \Rightarrow x = -10 \text{ или } x = -2. \]

Полезные советы

• Всегда проверяйте, не противоречит ли найденное решение исходному уравнению (особенно если были возведены в квадрат обе части).
• При работе с несколькими модулями рисуйте числовую прямую - это помогает не запутаться.
• Помните: модуль - это «защита от минуса». Он делает всё положительным!