Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение - это уравнение вида:

где:

• \( x \) - неизвестная переменная;
• \( a, b, c \) - числа (коэффициенты), причём \( a \ne 0 \).

Если \( a = 0 \), то уравнение превращается в линейное (\( bx + c = 0 \)), а значит, перестаёт быть квадратным.

Виды квадратных уравнений

1. Полные и неполные

• Полное - все коэффициенты \( a, b, c \) отличны от нуля.
• Неполное - хотя бы один из коэффициентов \( b \) или \( c \) равен нулю.

Примеры:

• Полное: \( 2x^2 - 5x + 3 = 0 \)
• Неполное: \( x^2 - 4 = 0 \) (здесь \( b = 0 \))

2. Приведённые и неприведённые

• Приведённое - старший коэффициент \( a = 1 \). Например: \( x^2 + 3x - 2 = 0 \).
• Неприведённое - \( a \ne 1 \). Например: \( 3x^2 - x + 1 = 0 \).

Любое неприведённое уравнение можно сделать приведённым, разделив всё на \( a \).

Как решать неполные квадратные уравнения?

Есть три случая:

1. \( ax^2 = 0 \) → всегда имеет один корень: \( x = 0 \).
2. \( ax^2 + c = 0 \) (где \( c \ne 0 \)): \[ x^2 = -\frac{c}{a} \]
   • Если \( -\frac{c}{a} > 0 \) → два корня: \( x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \)
   • Если \( -\frac{c}{a} < 0 \) → корней нет (квадрат числа не может быть отрицательным!)
3. \( ax^2 + bx = 0 \) (где \( b \ne 0 \)): выносим \( x \) за скобку: \[ x(ax + b) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{или} \quad x = -\frac{b}{a} \] Всегда два корня!

Дискриминант и формула корней

Для полного квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) сначала считаем дискриминант:

От значения \( D \) зависит количество корней:

• \( D > 0 \) → два различных корня: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
• \( D = 0 \) → один корень (иногда говорят «два совпадающих»): \[ x = \frac{-b}{2a} \]
• \( D < 0 \) → корней нет (в рамках школьной программы; позже узнаете про комплексные числа).

Теорема Виета (только для приведённых уравнений!)

Если уравнение имеет вид \( x^2 + px + q = 0 \), и у него есть корни \( x_1, x_2 \), то:

Это позволяет подбирать корни, не решая через дискриминант!

Пример: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

Ищем два числа, которые в сумме дают 5, а в произведении - 6. Это 2 и 3. Значит, корни: \( x_1 = 2,\ x_2 = 3 \).

Полезные свойства коэффициентов

Запомни эти «лайфхаки» - они экономят время!

• Если \( a + b + c = 0 \), то корни: \( x_1 = 1,\ x_2 = \dfrac{c}{a} \).
• Если \( a - b + c = 0 \) (то есть \( a + c = b \)), то корни: \( x_1 = -1,\ x_2 = -\dfrac{c}{a} \).

Пример: \( 2x^2 - 7x + 5 = 0 \)

Проверяем: \( 2 - 7 + 5 = 0 \) → верно! Значит, корни: \( x_1 = 1,\ x_2 = \frac{5}{2} = 2{,}5 \).

Связь с параболой

Уравнение \( y = ax^2 + bx + c \) задаёт параболу:

• Если \( a > 0 \) - ветви вверх.
• Если \( a < 0 \) - ветви вниз.
• Точки пересечения параболы с осью \( Ox \) - это корни уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \).
• Вершина параболы находится в точке \( x_0 = -\dfrac{b}{2a} \).

Краткий алгоритм решения

1. Определи тип уравнения: полное/неполное, приведённое/нет.
2. Если неполное - используй специальные приёмы (вынесение, перенос).
3. Если полное:
   • Посчитай дискриминант \( D = b^2 - 4ac \).
   • По значению \( D \) определи количество корней.
   • Найди корни по формуле.
4. Если уравнение приведённое и коэффициенты «удобные» - попробуй теорему Виета.

Почему это важно?

Квадратные уравнения встречаются:

• В задачах на движение, площади, смеси.
• При построении графиков (парабол).
• На ОГЭ и ЕГЭ - почти в каждом втором задании!