Что такое логарифм?

Логарифм - это степень, в которую нужно возвести основание \( a \), чтобы получить число \( b \):

\[ \log_a b = x \quad \Longleftrightarrow \quad a^x = b, \]

где:

• \( a > 0 \), \( a \ne 1 \) - основание логарифма;
• \( b > 0 \) - аргумент логарифма.

Пример: \( \log_2 8 = 3 \), потому что \( 2^3 = 8 \).

Особые логарифмы

• Десятичный логарифм: \( \lg b = \log_{10} b \).
• Натуральный логарифм: \( \ln b = \log_e b \), где \( e \approx 2{,}718 \) - число Эйлера.

Основное логарифмическое тождество

\[ a^{\log_a b} = b \quad (a > 0,\ a \ne 1,\ b > 0). \]

Свойства логарифмов

Пусть \( a > 0 \), \( a \ne 1 \), \( b > 0 \), \( c > 0 \), \( m,n \in \mathbb{R} \), \( n \ne 0 \). Тогда:

1. \( \log_a (b^m) = m \log_a b \)
2. \( \log_{a^n} b = \dfrac{1}{n} \log_a b \)
3. \( \log_{a^n} (b^m) = \dfrac{m}{n} \log_a b \)
4. \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \)
5. \( \log_a b - \log_a c = \log_a \left( \dfrac{b}{c} \right) \)
6. \( \log_a a = 1 \),   \( \log_a 1 = 0 \)
7. Формула перехода к новому основанию: \[ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \]
8. \( \log_a b = \dfrac{1}{\log_b a} \)
9. \( a^{\log_c b} = b^{\log_c a} \)

Область допустимых значений (ОДЗ)

Для любого логарифма \( \log_a f(x) \) необходимо:

\[ \begin{cases} f(x) > 0 \\ a > 0,\ a \ne 1 \end{cases} \]

Если переменная стоит в основании или аргументе - ОДЗ обязательно!

Логарифмические неравенства

Определение: Неравенство, содержащее переменную в аргументе или основании логарифма.

Главное правило

Монотонность логарифмической функции зависит от основания:

• Если \( a > 1 \) → функция возрастает → знак неравенства сохраняется.
• Если \( 0 < a < 1 \) → функция убывает → знак неравенства меняется на противоположный.

Алгоритм решения

1. Найти ОДЗ.
2. Привести обе части к одному основанию.
3. Сравнить аргументы с учётом монотонности.
4. Решить полученное неравенство.
5. Пересечь решение с ОДЗ.

Пример 1: \( \log_3(x+4) \geq \log_3(2x)^2 \)
ОДЗ: \( x+4 > 0 \), \( (2x)^2 > 0 \) → \( x > -4 \), \( x \ne 0 \).
Т.к. \( 3 > 1 \), знак сохраняется: \( x + 4 \geq 4x^2 \).
Решаем: \( 4x^2 - x - 4 \leq 0 \) → корни \( x_1 = -\tfrac{4}{3} \), \( x_2 = 1 \).
С учётом ОДЗ: \( x \in [-\tfrac{4}{3}; 0) \cup (0; 1] \). (В конкретных задачах проверяйте точные границы!)

Пример 2: \( \log_{\frac{1}{5}} x \geq 2 \)
ОДЗ: \( x > 0 \).
Перепишем: \( \log_{\frac{1}{5}} x \geq \log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{1}{25}\right) \).
Т.к. \( \tfrac{1}{5} < 1 \), знак меняется: \( x \leq \tfrac{1}{25} \).
С ОДЗ: \( x \in (0; \tfrac{1}{25}] \).

Метод замены переменной

Если в неравенстве или уравнении повторяется \( \log_a f(x) \), делают замену:

\[ t = \log_a f(x) \]

и решают более простое уравнение/неравенство относительно \( t \), затем возвращаются к \( x \).

Пример: \( \log_3^2 x - 10 \log_3 x + 21 \geq 0 \)
Пусть \( t = \log_3 x \). Тогда: \( t^2 - 10t + 21 \geq 0 \).
Корни: \( t = 3 \), \( t = 7 \). Решение: \( t \leq 3 \) или \( t \geq 7 \).
Обратная замена:
\[ \log_3 x \leq 3 \Rightarrow x \leq 27,\quad \log_3 x \geq 7 \Rightarrow x \geq 2187. \]
ОДЗ: \( x > 0 \). Ответ: \( x \in (0; 27] \cup [2187; +\infty) \).

Важные советы

• Всегда пишите ОДЗ - без него можно получить лишние или недопустимые корни!
• При работе с \( \log_a (x^2) \) помните: \( x^2 > 0 \Rightarrow x \ne 0 \), но \( x \) может быть отрицательным.
• Если степень стоит над логарифмом (\( \log^2 x \)), это значит \( (\log x)^2 \), а не \( \log(x^2) \)!

Где встречается в ЕГЭ?

• Профиль: задания №5 (уравнения), №14 (неравенства).
• База: задание №17.