Решение простейших тригонометрических неравенств

Введение

Тригонометрические неравенства - это неравенства, в которых переменная стоит под знаком тригонометрической функции: \( \sin x \), \( \cos x \), \( \tan x \) или \( \cot x \).
Их решение сводится к нахождению всех значений \( x \), при которых выполняется заданное условие (например, \( \sin x > \frac{1}{2} \)).

Основной инструмент - тригонометрическая окружность. Она помогает наглядно определить, где функция больше или меньше заданного числа.

Область допустимых значений (ОДЗ)

Перед решением важно помнить ограничения:

• \( -1 \leq \sin x \leq 1 \),   \( -1 \leq \cos x \leq 1 \)
• \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \),   \( \cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z} \)
• \( \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x} \),   \( \sin x \ne 0 \Rightarrow x \ne \pi k,\; k \in \mathbb{Z} \)

Алгоритм решения простейших неравенств

Рассмотрим общий подход на примере \( \cos x > a \) или \( \sin x < a \):

1. Нарисуйте единичную окружность.
2. Отметьте на соответствующей оси (абсцисс - для \( \cos x \), ординат - для \( \sin x \)) значение \( a \).
3. Выделите нужную часть оси (например, «больше \( a \)» → правее точки \( a \)).
4. Проведите перпендикуляр из этой точки до пересечения с окружностью. Получите две граничные точки.
5. Заштрихуйте дугу, которая лежит со стороны заштрихованной части оси.
6. Запишите ответ как интервал с учётом периодичности: \[ (\alpha + 2\pi k,\; \beta + 2\pi k),\quad k \in \mathbb{Z} \]

Примеры

Пример 1: \( \cos x > \dfrac{1}{2} \)

• Точки пересечения: \( x = \pm \dfrac{\pi}{3} \)
• Ответ: \( \left(-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\; \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\right),\; k \in \mathbb{Z} \)

Пример 2: \( \sin x \geq \dfrac{1}{2} \)

• Точки: \( \dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{6} \)
• Ответ: \( \left[\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\; \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\right],\; k \in \mathbb{Z} \)

Пример 3: \( \tan x > 1 \)

• У тангенса период \( \pi \), а ОДЗ исключает \( x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \)
• Граничные точки: \( \dfrac{\pi}{4},\; \dfrac{\pi}{2} \)
• Ответ: \( \left(\dfrac{\pi}{4} + \pi k,\; \dfrac{\pi}{2} + \pi k\right),\; k \in \mathbb{Z} \)

Пример 4: \( \cot x < 1 \)

• У котангенса также период \( \pi \), ОДЗ: \( x \ne \pi k \)
• Ответ: \( \left(\dfrac{\pi}{4} + \pi k,\; \pi + \pi k\right),\; k \in \mathbb{Z} \)

Сложные неравенства

Если неравенство не простейшее (например, \( 3\cos^2 x - 5\cos x - 2 < 0 \)), применяют замену:

\[ t = \cos x,\quad -1 \leq t \leq 1 \]

Получаем квадратное неравенство, решаем его, затем делаем обратную замену и решаем простейшее тригонометрическое неравенство.

Важно: всегда учитывайте ОДЗ после обратной замены!

Системы тригонометрических неравенств

Чтобы решить систему:

\[ \begin{cases} \cos x > 0 \\ \sin x \geq -\dfrac{1}{2} \end{cases} \]

1. Решите каждое неравенство отдельно.
2. Найдите пересечение полученных множеств на окружности.
3. Запишите общий интервал.

Например, пересечение \( \left(-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k,\; \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\right) \) и \( \left[-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\; \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi k\right] \) даёт:

\[ \left[-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\; \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\right),\quad k \in \mathbb{Z} \]

Ключевые советы

• Всегда рисуйте окружность - это главный помощник!
• Строгие неравенства (\( > \), \( < \)) → точки выколотые; нестрогие (\( \geq \), \( \leq \)) → точки закрашены.
• Для \( \tan x \) и \( \cot x \) используйте прямую через центр окружности, а не перпендикуляр.
• Не забывайте про периодичность: \( 2\pi \) для \( \sin \) и \( \cos \), \( \pi \) для \( \tan \) и \( \cot \).
• При замене переменной проверяйте, попадает ли результат в ОДЗ (\( -1 \leq t \leq 1 \)).

Заключение

Тригонометрические неравенства кажутся сложными, но становятся простыми, если:

• Вы хорошо знаете единичную окружность,
• Умеете находить углы по значениям функций,
• Помните ОДЗ и периодичность.

Практика и аккуратность - залог успеха на ЕГЭ и в дальнейшем изучении математики!