1. Что такое показательная функция?

Показательная функция - это функция вида:

\[ y = a^x, \]

где:

• \( a > 0 \), \( a \ne 1 \) - основание степени;
• \( x \in \mathbb{R} \) - переменная (показатель степени).

Свойства:

• Область определения: \( \mathbb{R} \) (любое действительное число).
• Область значений: \( (0; +\infty) \) - функция всегда положительна.
• График проходит через точку \( (0; 1) \), потому что \( a^0 = 1 \).
• Если \( a > 1 \), функция возрастает.
• Если \( 0 < a < 1 \), функция убывает.

Особый случай - экспонента: \( y = e^x \), где \( e \approx 2{,}718 \) - число Эйлера.

2. Что такое показательное уравнение?

Показательное уравнение - это уравнение, в котором неизвестное находится в показателе степени. Примеры:

\[ 2^x = 8,\quad 5^{x+1} = 25,\quad 4^x - 2^{x+1} - 8 = 0. \]

3. Основные методы решения

3.1. Приведение к одинаковому основанию

Если обе части уравнения можно записать как степени одного и того же числа, то можно приравнять показатели:

\[ a^{f(x)} = a^{g(x)} \quad \Leftrightarrow \quad f(x) = g(x),\quad a > 0,\ a \ne 1. \]

Пример:

\[ 4^x = 64 \Rightarrow (2^2)^x = 2^6 \Rightarrow 2^{2x} = 2^6 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3. \]

3.2. Введение новой переменной

Если уравнение содержит повторяющиеся выражения вида \( a^x \), делаем замену \( t = a^x \) (при этом \( t > 0 \)).

Пример:

\[ 4^x - 2^{x+1} - 8 = 0 \Rightarrow (2^x)^2 - 2\cdot2^x - 8 = 0. \]

Пусть \( t = 2^x > 0 \), тогда:

\[ t^2 - 2t - 8 = 0 \Rightarrow t_1 = 4,\ t_2 = -2\ (\text{не подходит}). \]

Обратная замена: \( 2^x = 4 \Rightarrow x = 2 \).

3.3. Вынесение общего множителя

Если в уравнении есть слагаемые с одинаковой степенью, можно вынести её за скобки.

Пример:

\[ 3^{x+1} + 3^x - 3^{x-2} = 35. \]

Выносим \( 3^{x-2} \):

\[ 3^{x-2}(3^3 + 3^2 - 1) = 35 \Rightarrow 3^{x-2} \cdot 35 = 35 \Rightarrow 3^{x-2} = 1 \Rightarrow x = 2. \]

3.4. Графический метод

Строим графики левой и правой частей уравнения и ищем точки пересечения. Подходит для оценки количества решений, но не всегда даёт точный ответ.

4. Показательные неравенства

Показательное неравенство - это неравенство, в котором переменная стоит в показателе степени. Пример:

\[ 2^x > 8,\quad \left(\frac{1}{3}\right)^x \leq 9. \]

Важно помнить:

• При \( a > 1 \): знак неравенства сохраняется: \[ a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x). \]
• При \( 0 < a < 1 \): знак неравенства меняется на противоположный: \[ a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x). \]

Пример:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 8 \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}. \]

Так как \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \), меняем знак:

\[ x \geq -3 \quad \Rightarrow \quad x \in [-3; +\infty). \]

5. Полезные свойства степеней

Для решения уравнений и неравенств часто используются следующие формулы:

\[ \begin{aligned} a^m \cdot a^n &= a^{m+n}, \\ \frac{a^m}{a^n} &= a^{m-n}, \\ (a^m)^n &= a^{mn}, \\ a^{-n} &= \frac{1}{a^n}, \\ a^0 &= 1\ (a \ne 0). \end{aligned} \]

6. Особые случаи

• Уравнение \( a^x = b \) при \( b \leq 0 \) не имеет решений, так как \( a^x > 0 \) всегда.
• Неравенство \( a^x > b \) при \( b \leq 0 \) выполняется при всех \( x \in \mathbb{R} \).

7. Советы для ЕГЭ

• Всегда проверяйте, можно ли привести обе части к одному основанию.
• При замене переменной не забывайте условие \( t > 0 \).
• В неравенствах внимательно следите за основанием: больше или меньше 1?
• Если график смещён (\( a^{x+b} + c \)), используйте точку \( (0;1) \) как ориентир.