Введение

Иррациональные уравнения - это уравнения, в которых неизвестная переменная находится под знаком корня (обычно квадратного). Такие уравнения часто встречаются в заданиях ЕГЭ (например, №9) и требуют особого внимания к области допустимых значений (ОДЗ) и проверке решений.

Что такое иррациональное уравнение?

Иррациональным называется уравнение, содержащее переменную под знаком корня. Примеры:

\[ \sqrt{x + 3} = 5,\quad \sqrt{2x - 1} = x - 2,\quad \sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{x + 1} = 3. \]

Важно: если корень имеет чётную степень (например, квадратный), то выражение под ним должно быть неотрицательным. Это и есть ОДЗ.

Основной метод решения

Большинство иррациональных уравнений решаются по следующему плану:

Шаг 1: Найти ОДЗ

Определи, при каких значениях переменной выражения под корнями неотрицательны. Например, для \( \sqrt{x - 2} \) ОДЗ: \( x \geq 2 \).

Шаг 2: Изолировать корень

Если в уравнении несколько корней или корень «смешан» с другими слагаемыми, постарайся оставить корень в одной части уравнения, а всё остальное - в другой.

Пример:

\[ \sqrt{2x + 1} = x - 3 \quad \Rightarrow \quad \text{корень уже изолирован}. \]

Шаг 3: Возвести обе части в квадрат

Это позволяет избавиться от корня. Но будь осторожен: при возведении в квадрат могут появиться лишние корни, которые не удовлетворяют исходному уравнению!

Пример:

\[ \sqrt{2x + 1} = x - 3 \quad \Rightarrow \quad 2x + 1 = (x - 3)^2. \]

Шаг 4: Решить полученное уравнение

После возведения в квадрат ты получишь рациональное уравнение (линейное или квадратное). Реши его обычными методами.

Шаг 5: Проверка

Обязательно:

• Убедись, что найденные корни принадлежат ОДЗ.
• Подставь их в исходное уравнение - только так можно отсеять лишние решения.

Типичные случаи

Тип 1: Один корень

\[ \sqrt{f(x)} = a,\quad a \geq 0. \]

Решение: \( f(x) = a^2 \), при условии \( f(x) \geq 0 \).

Тип 2: Корень равен выражению с переменной

\[ \sqrt{f(x)} = g(x). \]

ОДЗ: \( f(x) \geq 0 \) и \( g(x) \geq 0 \) (так как корень не может быть отрицательным!).
Решение: \( f(x) = g^2(x) \), затем проверка.

Тип 3: Несколько корней

\[ \sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = h(x). \]

Сначала изолируй один корень, возведи в квадрат, упрости, и, возможно, повтори операцию.

Как решать задачи ЕГЭ с формулами и корнями

В ЕГЭ часто дают физическую или геометрическую формулу с корнем, например:

\[ v = \sqrt{2la},\quad l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}},\quad L = \sqrt{\frac{Rh}{500}}. \]

Алгоритм:

1. Выпиши формулу и все известные величины.
2. Обрати внимание на слова «не менее», «не более» - они означают неравенства. Но для нахождения минимального или максимального значения рассматривай граничный случай (равенство).
3. Подставь известные числа, изолируй корень, возведи в квадрат.
4. Реши уравнение.
5. Проверь:
   • Подкоренное выражение \( \geq 0 \),
   • Ответ имеет физический смысл (например, скорость > 0).

Типичные ошибки и как их избежать

• Забыть про ОДЗ. Всегда пиши условия для выражений под корнями!
• Не проверять корни. После возведения в квадрат могут появиться «лишние» решения.
• Путаница с «не менее / не более». Запомни: чтобы найти наименьшее ускорение при условии «скорость не менее 100», бери ровно 100.
• Несогласованные единицы измерения. Переводи всё в одни единицы (метры, километры, часы и т.д.).