Что такое иррациональное неравенство?

Иррациональным называется неравенство, в котором переменная стоит под знаком корня. Например:

\[ \sqrt{x+3} \ge 2,\quad \sqrt{x^2 - 4} < x,\quad \sqrt[3]{x+1} > 5. \]

Корни могут быть разных степеней: чётные (например, квадратный \( \sqrt{} \)) и нечётные (кубический \( \sqrt[3]{} \), пятый и т.д.). Это очень важно - от степени корня зависит, как решать неравенство!

Главные правила

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Для корней чётной степени (например, \( \sqrt{x} \), \( \sqrt[4]{x} \)) подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[ \sqrt{f(x)} \text{ существует } \iff f(x) \ge 0. \]

Для корней нечётной степени (например, \( \sqrt[3]{x} \)) ОДЗ - любые числа, потому что из отрицательных чисел тоже можно извлекать корень нечётной степени.

2. Возведение в степень

• Чётная степень (например, в квадрат): это неравносильная операция! Нельзя просто возвести обе части в квадрат без дополнительных условий - могут появиться лишние решения.
• Нечётная степень: это равносильная операция. Можно смело возводить обе части в куб, пятую степень и т.д., не боясь ошибок.

Основные типы иррациональных неравенств

Тип 1: \( \sqrt{f(x)} \ge a \), где \( a \) - число

• Если \( a < 0 \): неравенство всегда верно при условии ОДЗ, ведь \( \sqrt{f(x)} \ge 0 > a \). \[ \Rightarrow f(x) \ge 0. \]
• Если \( a \ge 0 \): можно возвести в квадрат: \[ \sqrt{f(x)} \ge a \iff f(x) \ge a^2. \]

Тип 2: \( \sqrt{f(x)} \le a \), где \( a \) - число

• Если \( a < 0 \): решений нет, так как \( \sqrt{f(x)} \ge 0 \).
• Если \( a \ge 0 \): \[ \sqrt{f(x)} \le a \iff \begin{cases} f(x) \le a^2,\\ f(x) \ge 0. \end{cases} \]

Тип 3: \( \sqrt{f(x)} \le g(x) \)

Важно: правая часть тоже может быть отрицательной! Поэтому:

\[ \sqrt{f(x)} \le g(x) \iff \begin{cases} f(x) \le g(x)^2,\\ f(x) \ge 0,\\ g(x) \ge 0. \end{cases} \]

Если \( g(x) < 0 \), то неравенство не имеет решений, ведь слева - неотрицательное число.

Тип 4: \( \sqrt{f(x)} \ge g(x) \)

Здесь возможны два случая:

1. \( g(x) \ge 0 \): можно возвести в квадрат.
2. \( g(x) < 0 \): неравенство выполняется автоматически при ОДЗ, так как \( \sqrt{f(x)} \ge 0 > g(x) \).

Поэтому:

\[ \sqrt{f(x)} \ge g(x) \iff \left[ \begin{gathered} \begin{cases} f(x) \ge g(x)^2,\\ g(x) \ge 0; \end{cases}\\ \begin{cases} f(x) \ge 0,\\ g(x) < 0. \end{cases} \end{gathered} \right. \]

Тип 5: \( \sqrt{f(x)} \ge \sqrt{g(x)} \)

Оба корня существуют только если \( f(x) \ge 0 \) и \( g(x) \ge 0 \). Так как корень - возрастающая функция, можно сравнить подкоренные выражения:

\[ \sqrt{f(x)} \ge \sqrt{g(x)} \iff \begin{cases} f(x) \ge g(x),\\ g(x) \ge 0. \end{cases} \]

(Проверять \( f(x) \ge 0 \) не обязательно - если \( f(x) \ge g(x) \ge 0 \), то \( f(x) \ge 0 \) автоматически.)

Тип 6: Произведение с корнем: \( g(x)\cdot\sqrt{f(x)} \ge 0 \)

Поскольку \( \sqrt{f(x)} \ge 0 \), знак произведения зависит от \( g(x) \). Учитываем также, что произведение может быть нулём.

\[ g(x)\cdot\sqrt{f(x)} \ge 0 \iff \left[ \begin{gathered} \begin{cases} g(x) \ge 0,\\ f(x) \ge 0; \end{cases}\\ f(x) = 0. \end{gathered} \right. \]

Для строгого неравенства (\( >0 \)):

\[ g(x)\cdot\sqrt{f(x)} > 0 \iff \begin{cases} g(x) > 0,\\ f(x) > 0. \end{cases} \]

Корни нечётной степени

Если корень нечётной степени, всё проще! Например:

\[ \sqrt[3]{f(x)} \ge g(x) \iff f(x) \ge g(x)^3. \]

Никаких ограничений на знаки - можно сразу возводить в степень.

Советы по решению

1. Всегда начинай с ОДЗ (если есть корни чётной степени).
2. Не возводи в квадрат, пока не убедился, что обе части \( \ge 0 \).
3. При неравенствах типа \( \sqrt{f(x)} \ge g(x) \) разбивай на случаи: \( g(x) \ge 0 \) и \( g(x) < 0 \).
4. После всех преобразований проверяй, удовлетворяют ли полученные ответы исходному неравенству (особенно если возводил в степень).

Пример

Решим: \( \sqrt{x+2} > -x \).

1. ОДЗ: \( x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2 \).
2. Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( -x \ge 0 \Rightarrow x \le 0 \).
Тогда обе части \( \ge 0 \), можно возвести в квадрат:

\[ x + 2 > x^2 \Rightarrow x^2 - x - 2 < 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) < 0 \Rightarrow x \in (-1, 2). \]

С учётом \( x \le 0 \) и \( x \ge -2 \): \( x \in (-1, 0] \).

Случай 2: \( -x < 0 \Rightarrow x > 0 \).
Тогда правая часть отрицательна, а левая - \( \ge 0 \), значит неравенство верно при любом \( x > 0 \), удовлетворяющем ОДЗ: \( x \in (0, +\infty) \).

Объединяем: \( x \in (-1, +\infty) \).